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2025年全国二卷数学高考真题带答案带解析带分值文字版

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合要求

1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为
A.8
B.9
C.12
D.18

【答案】C

【解析】本题考查了样本平均数,考查运算能力

故答案为C

【分值】5分

2.已知,则
A.
B.
C.-1
D.1

【答案】A

【解析】本题考查了复数的运算
,

【分值】5分

3.已知集合,,则
A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】本题考查了集合的运算、交集、解方程.

由 B： 
,

【分值】5分
4.不等式的解集是
A.
B.
C.

D.

【答案】C

【解析】本题考查了解分式不等式
移项：
通分

等价转化为
解得：

【分值】5分

5.在中,,,,则
A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】本题考查了余弦定理的应用.

, 

故选. 

【分值】5分

6.设抛物线C:的焦点为,点A在C上,过作的准线的垂线,垂足为.若直线BF的方程为,则
A.3
B.4
C.5
D.6

【答案】C

【解析】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系.

如图：

直线：,令,  

,,  

抛物线方程为 准线方程为 

设,  

令, 

则 

代入中,得 

故选C.

【分值】5分

7.记为等差数列的前项和,若,,则
A.-20
B.-15
C.-10
D.-5

【答案】B

【解析】本题考查了等差数列的求和公式
，
即
解得，

故选B

【分值】5分

8.已知,,则
A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】

故选D

【分值】5分

二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.生部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.记为等比数列的前项和,为的公比,若,则
A.
B.
C.
D.

【答案】AD

【解析】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的求和公式
，，
，即
，即
整理得，解得，（舍）
故A正确
，故B错误

，故C错误



故D正确

【分值】6分

10.已知是定义在上的奇函数,且当x＞0时,,则
A.
B.当x＜0时,
C.,当且仅当
D.是的极大值点

【答案】ABD

【解析】本题考查了函数的奇偶性、对称性，导数研究函数的单调性、极值
∵在上为奇函数，时,

设

，
当时，

故B正确
由奇函数的性质，，，故A正确

因为是奇函数,图像关于（0,0）对称,不妨先研究时的性质, 

当时, 

 令, 

 则与的情况如下表 

故由函数关于原点对称,其图像大致如下

故正确 

由图像可知,,当时,的解集不是空集,故错误 

【分值】6分

11.双曲线的左、右焦点为,左、右顶点分别为.以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于两点,且,则
A.
B.
C.的离心率为
D.当时,四边形的面积为

【答案】ACD

【解析】本题考查了双曲线的性质,双曲线的渐近线,考查了直线与圆相交,以及求双曲线的离心率.

如图

双曲线的渐近线为  

过为直径的圆方程为  

轴 

,A正确 

则中,,错误 

正确  

当时,,正确 

【分值】6分

三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分

12.已知平面向量,,若,则____

【答案】

【解析】本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的条件及向量的模.

,,


故答案为.

【分值】5分

13.若是函数的极值点,则____

【答案】-4

【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值,由极值点求参数的值.

故答案为.

【分值】5分

14.一个底面半径为,高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为____.

【答案】2.5

【解析】本题考查了立体几何中的球的切接问题.

如图:作出圆柱与球的轴截面

故答案为2.5

【分值】5分

四、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15.已知函数

(1)求.

(2)设函数,求的值域和单调区间.

【答案】（1）

（2）g（x）的值域:,增区间:减区间:

【解析】本题考查了三角恒等变换、三角函数的值域和单调区间的求法

【分值】13分

16.已知椭圆的离心率为,长轴长为.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与交于,为坐标原点.若△OAB的面积为,求.

【答案】（1）

（2）

【解析】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识.

【分值】15分

17.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD中点,E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形,使得面与面所成的二面角为. 

(1)证明:平面. 

(2)求面与面所成的二面角的正弦值. 

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】本题考查了线面平行的证明,及空间向量求二面角的知识.
(1)  
面,面 面
 
面,面 面
又,EB,面
平面面
面 面

(2)由折叠关系知,
,

,
不妨设,,
为中点,,为等边三角形
,面,取中点,连
可知,,,面
以为原点,与平行的直线为轴,所在直线为轴,

所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系

设平面的法向量为

,即,取,则,

设平面的一个法向量为
,即,取

设平面与面（同前,应为 ）所成的二面角为

【分值】15分

18.已知函数,其中.
(1)证明:在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.
(2)设,分别为在区间的极值点和零点.
①设函数.证明:在区间单调递减
②比较与的大小,并证明你的结论.

【答案】（1）见解析

（2）①见解析

②

【解析】本题主要考查了函数的极值点和零点,利用导数证明函数的单调性,及比较大小.

(1) 

令 则,

令 ,

在单调递增,

令 ,在单调递减

在处取得极大值,

即在存在唯一极值点

又,,

当,,

在存在唯一零点.

(2)①由(1)知，则










即

，即在上单调递减

【分值】17分

19.甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得分,负者得分.设每个球甲胜的概率为,乙胜的概率为,,且各球胜负相互独立,对正整数,记为打完个球后甲比乙至少多得分的概率,为打完个的球后乙比甲至少多得分的概率.
(1)求,(用表示).
(2)若,求.
(3)证明:对任意正整,.

【答案】（1）

（2）

（3）见解析

【解析】(1)      
   

(2)

（3）记表示球甲得分的概率.


故

故要证：
只需证：
即只需证：
即，由条件，故结论成立.
由

现在，考虑不等式右边
.
只需证

只需证：
只需证
只需证：
因为 且
故上面不等式成立，证毕.

【分值】17分

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